Duplicação do Cubo

Veja também artigo sobre Trissecção do Ângulo

Por: Antonio Carli

Engenheiro POLI USP

carlisp@terra.com.br

direito  autoral reservado pelo:

registro 618.381  livro  1.186  folha  265 (Biblioteca Nacional)

Para alunos do curso médio

São Paulo, setembro de 2013.

Prezado leitor:

Em janeiro de 2010 tomei conhecimento de um problema chamado duplicação do cubo. Normalmente não teria dado confiança para ele, porém, aquele era diferente dada sua antiguidade e seu nome composto de apenas três palavras: duplicação do cubo, se admitirmos que a preposição de + mais o artigo “o” formam uma palavra, o que parece um exagero. Comecei a pensar no problema sem maior compromisso. Com o tempo percebi que, além de não saber resolver, não conseguia largá-lo. Tornara-se uma obsessão.  Eu me sentia um rato metido numa ratoeira. Duplicação do cubo consiste em multiplicar o volume de um cubo por dois e determinar a aresta do produto.

Capítulo I Figuras

-Este capítulo visa rever a geometria do curso médio, focalizando e ampliando a parte que interessa para a demonstração do teorema do cubo. Ao iniciar este trabalho, o correto seria vasculhar a biblioteca a procura de agulha no palheiro ou na Internet, onde encontro tudo, menos o que procuro. A partir desse trabalho, dar ao leitor uma bibliografia. Certamente, por esse caminho, não iria encontrar uma proposta de solução. A morte me encontraria primeiro. É mais prático e rápido procurar informações dentro da própria cabeça que está bem ali ao alcance da mão. O problema dessa filosofia são os plágios. Coloco no papel figuras e propriedades sem mencionar o autor, cujo nome  desconheço. Eu estaria reinventando algo que já foi inventado. Estaria reinventando a roda. Peço ao leitor, que é jovem, cheio de energia, cheio de futuro, verificar os plágios que cometi e informar para que eu possa fazer retratação.

 A Figura 1 a seguir é muito importante e será usada à exaustão. Em nenhuma parte encontrei o nome do autor para poder mencioná-lo. É muito provável que seja Pitágoras, porém a história se omite. Neste texto vou denominá-lo primeiro teorema xis, que se refere à Figura 1, abreviando: 1TX. Para demonstrá-lo, a hipótese informa que os triângulos retângulos AOC e AOB são semelhantes. A tese estabelece que h² = mn. Demonstração: Vou sugerir ao leitor um modelo de demonstração, passo a passo:

1) assinale com uma alça um par qualquer de ângulos iguais, por exemplo: o ângulo OAB, vértice em A e OCA, vértice em C são iguais porque seus lados são perpendiculares entre si, dois a dois.

2) assinale com duas alças o outro par de ângulos iguais que são OAC e OBA. O motivo da igualdade é o mesmo do item 1. Os lados opostos a esses ângulos são chamados homólogos.

3) isole, mentalmente um triângulo, por exemplo, o triângulo OAB

4) escreva uma fração usando como numerador a medida (n) do lado oposto ao ângulo de uma alça.

5) use como denominador a medida do lado oposto ao ângulo de duas alças (h). a fração será n/h.                                                                                                                                                  

                                

6) faça exatamente a mesma coisa com o outro triângulo, o OAC, a nova fração será: h/m.

7) iguale as duas frações: n/h = h/m

A figura 1, bem como o teorema aqui chamado 1TX estão colocados do jeito que aprendi no curso médio na primeira metade do século passado, curso esse, que naquele tempo tinha outro nome. Desconheço os moldes atuais. Aquela maneira de proceder merece reparos. Por exemplo: o segmento de extremidades O e C é designado por m ou (OC)? Num caso simples como a figura 1 e o teorema 1TX, onde sobra espaço, podemos esbanjar espaço, dando dois nomes a um mesmo ente. Pode haver casos, porém, onde o espaço é pequeno haverá congestionamento. Isso não é tudo.

Na equação anterior h = m^1/2, a letra m seria a designação de um segmento? Se for, a equação está errada. Não existe raiz quadrada de um segmento. A equação pode estar correta se h e m forem números reais, ou seja, medidas dos respectivos segmentos numa mesma unidade. Esse caminho, porém, está cheio de pedras que precisam ser removidas. É proibido tirar medidas de segmentos.

A Internet informa que, em geometria, é proibido o uso de régua graduada. Com todas essas restrições, nem pensar em atacar o teorema do cubo. Como você sabe, em geometria, milagre não vale. Prezado leitor, aqui você pode praticar geometria e tirar medidas. A figura 2 abaixo visa modificar a convenção de segmentos. A letra c (minúscula) é a medida do segmento (OC), melhor dizendo: c é um número real dado pela relação c = (OC)/(OU) onde (OU) é um segmento unitário, arbitrário, que mede qualquer segmento da figura.

Na Figura 2 ainda colocamos as medidas a, b e c para esclarecer melhor. Não faremos mais, subentende-se, daqui pra frente, que x (minúsculo) é a medida de (OX). Peço notar que a figura em foco apresenta três segmentos de medidas a, b e c que interessam ao nosso trabalho, sendo cada um deles função dos outros dois e todos os segmentos correspondentes têm origem no ponto O. A figura é rígida, quero dizer: todos os segmentos são constantes.

Aqui, na nova convenção, podemos escrever a² = bc ou a = (bc)^1/2 . Note que, pode parecer que estamos calculando a raiz quadrada “a” de um número real, positivo bc. Seria mesmo?

Na verdade fizemos um desenho, tiramos medidas, fizemos as contas e verificamos que as contas reproduzem as medidas. Na verdade, o que fizemos foi desenhar a raiz quadrada. Trata-se de um mecanismo geométrico para extrair raiz quadrada.

Fica patente, neste ponto, que a geometria, com sua estrutura de palavras exatas, com seus conceitos tais como ponto sem dimensão, segmento de reta sem espessura, noções primitivas, postulados, propriedades, lemas e teoremas, enfim, sua infraestrutura, com todo esse cuidado que mais parece a descrição do cerimonial de um culto religioso, ainda é falha.

Todo conceito novo requer a invenção de palavra nova que o caracterize e torne possível a transmissão do conhecimento. Faltam palavras em geometria.

Operações entre segmentos não podem se chamar produto, quociente, raiz, etc.  aqui, por falta de palavras, vamos continuar usando as palavras antigas. Na figura 3 acima, o segmento (OA) é constante, (OB) e (OC) são variáveis. Trata-se de figura a produto constante. (OB) está assumindo os valores (OB₁) e (OB₂) e (OC) assumindo (OC₁) e (OC₂).

Qualquer que seja o produto, por exemplo: (OB₁)(OC₁) = (OA)². Se o segmento (OB₁) tender a infinito, (OC₁) tende a zero. A figura contem o zero e o infinito.  Arthur Koestler escreveu “O Zero e o Infinito”(livro).

Na figura 4, um fator, (OB), é constante, o outro fator, (OC), e (OA) são variáveis. Trata-se de figura a quociente constante, pois (OB) = (OA)²/(OC) e (OB) é constante.

A figura 5 a seguir é um exemplo do uso de régua para verificar a validade do 1TX. Pode ser usada uma régua graduada de madeira ou plástico para a escala. É interessante também usar computador com autocad. Ele pode também dividir um segmento em partes iguais providenciando uma régua como naquela figura onde o arco pontilhado mostra que a raiz quadrada de 4 é 2.

Na figura 6 o retângulo OCC₁C2 cuja área é o produto bc foi rearranjado para formar o quadrado A₁A₂C₁C₂.

As figuras 5 e 6 mostram como fazer laboratório de geometria. Na demonstração do teorema do cubo, faremos uma figura muito parecida com a figura 5, porém em três dimensões. Repita as figuras, dividindo um segmento em 17 partes iguais.

Teorema 2TX.

Não sei o nome do autor do teorema 2TX. Este é uma generalização do teorema 1TX. Ele poderia ser enunciado assim: numa circunferência, o produto das duas partes de uma mesma corda separadas por um ponto O é constante. 

Demonstração: na figura 7 acima os ângulos C₁ B₁C₂ e C₁B₂C₂ são iguais porque ambos se referem ao mesmo arco C₁C₂.

Os ângulos (B₂OC₁) e  B₁OC₂) são iguais porque são opostos pelo vértice. Os triângulos (B₂OC₁). Então os lados (OC₂) e (OC₁) opostos a esses ângulos são homólogos. Identicamente os lados (OB₂) e (OB₁) são homólogos. Nas frações (OB₁)/(OC₂) e (OB₂)/(OC₁) os numeradores são homólogos, idem, os denominadores. Os termos de cada fração são lados de um mesmo triângulo.

Tem-se pois (OB₁)/(OC₂) = (OB₂)/(OC₁).

Transformando em produto, vem (OB₁)(OC₁) = (OB₂)(OC₂.

O senhor X₂, cujo nome desconheço, autor do teorema 2TX e figura correspondente, executou um feito extraordinário. O teorema 1TX é um caso particular de 2TX, como veremos adiante. O teorema 2TX não contem o zero e o infinito. Num único golpe, o sr. X₂ eliminou o zero e seu inverso. O inverso de zero, que reservadamente chamamos infinito, que não é número, é um conceito, causa horrores e pesadelos nos físicos, que o chamam singularidade.

O caso mais comum é o dos buracos negros, onde tudo o que entra não sai. Ali a densidade de massa é infinita. Todavia, em física, dois senhores unidos repetiram a façanha do senhor X₂.

O sr. Werner Heisenberg propôs o princípio da incerteza que significa a impossibilidade de medir duas propriedades de uma partícula simultaneamente. O efeito colateral desse princípio é que o espaço vazio não é tão vazio quanto parecia. Ali há flutuação de potencial elétrico, ou seja, o princípio da incerteza garante que ali o campo elétrico num ponto não é nulo, mesmo na ausência de carga elétrica próxima. Também o espaço supostamente vazio é povoado de partículas virtuais, que surgem e desaparecem tal como o piscar de um vagalume em noite escura. Isto quer dizer que o zero, quero dizer o vazio  foi eliminado do espaço. A afirmação: a natureza tem horror ao vazio é de um radicalismo absoluto.

A pergunta transcendental: - por que existe tudo ao invés de nada? O senhor Heisenberg responde: existe tudo porque o nada está morto. O sr. Hawking, por sua vez, eliminou o inverso de zero. Ele disse: os buracos negros evaporam. Se evaporam, significa que a densidade infinita de matéria e o consequente potencial gravitacional infinito num ponto não existem.

Na minha maneira de pensar, ele eliminou o infinito. O sr. X₂, desenhando, fez o encontro entre a física e a geometria. Numa única tacada, eliminou os dois extremos. Não é pouca coisa!

Figura 8

A recíproca do teorema 2TX é falsa. Pode existir uma infinidade de cordas concorrentes num ponto O, tais que o produto das duas partes de cada corda uma seja constante e todas elas podem não pertencer a uma mesma circunferência. Todavia os quatro extremos de duas cordas determinam uma circunferência. É possível provar que a circunferência que passa pelos dois extremos de uma mesma corda e pelo extremo de outra deve conter o outro extremo da outra.

De fato: sejam dois segmentos, não colineares, (B₁C₁) e (B₂C₂*) que se cruzam num ponto O tais que (OB₁)(OC₁) = (OB₂)(OC₂^*) (equação 1) então os quatro pontos B₁, C₁, B₂, C*₂ são cocirculares.

Demonstração: os três primeiros pontos B₁, C₁, B₂ determinam uma circunferência. Suponhamos que o ponto C₂* esteja fora da circunferência, como na Figura 8. Então o segmento (OC₂*) cruza a circunferência num ponto C₂. Pelo teorema 2TX deve ser:               (OB₁)(OC₁) = (OB₂)(OC₂) (equação 2).

Então a equação 1 é falsa pois (OB₂)(OC₂*) > (OB₂)(OC₂). Observação: dados dois segmentos que se cruzam num ponto O, para os quais vale a equação 2 e nenhuma outra restrição, existe uma infinidade de circunferências que passa pelos quatro pontos B_1, C_1, B₂ C_2, desde que o ângulo entre eles seja variável. Veja que, a cada ângulo arbitrário C₁OC₂ , corresponde uma circunferência. No limite, para esse ângulo tendendo a zero, o raio da circunferência tende a infinito.

                       

O ângulo máximo, 90 graus, é obtido quando se toma o maior segmento como diâmetro e o menor é  mínimo.   Neste caso, o ponto O é o ponto médio de (A₁A₂) e  (OA₁) = (OA₂).

Veja a Figura 9. Então Pelo teorema 2TX (OA₁)(0A2) = (OB₁)(OC₁) = (OA₁)².

O teorema 1TX é um caso particular do teorema 2TX. Demonstração: a Figura 10 é autoexplicativa.
                                    
Temos: (OA₂) = (OA₁) =  ((OB₁)(OC₁))^1/2, (OA) = ((OB)(OC))^1/2 e  (OB₁)(OC₁) =  (OB)(OC). Então (OA₁) = (OA₂) =  (OA).

As duas partes da Figura 10 indicam que a circunferência de diâmetro (B₁C₁), vou indica-la pelo símbolo C(B₁C₁) e todas as outras identicamente, é a projeção horizontal de uma superfície semiesférica cujo ponto A  a ela pertence e o ponto O é a projeção horizontal dele.

A semicircunferência BAC é a projeção horizontal de uma secção da circunferência de diâmetro (B₁C₁) por um plano vertical.

Curvas de nível

As curvas de nível de uma superfície semiesférica são circunferências concêntricas como na Figura 11 abaixo. A cicunferência de raio (OA) é a curva de nível zero. Todos os degraus entre duas curvas consecutivas têm a mesma altura, por isso as distâncias horizontais variam sendo as primeiras, em direção ao topo, muito curtas.

Interseção de superfícies semiesféricas.

Na figura 12 abaixo a corda (B₁C₁) é a projeção horizontal da interseção de duas superfícies semiesféricas. 

                                              

Qualquer ponto da intersecção pertence às duas superfícies, portanto as curvas internas que aparecem no desenho têm o mesmo nível.

                                         

Capítulo II: Teorema do hipercubo. Caso particular, cubo a quatro dimensões.

Estou abordando o teorema do hipercubo, em primeiro lugar, porque o teorema do cubo é muito difícil de ser demonstrado e o hipercubo, mais fácil, poderia indicar uma sugestão.

Na Figura 13 acima temos os segmentos (B₁C₁) e (B₂C₂) repartidos em duas partes (desiguais) pelo ponto O.

A média geométrica de (OB₁) e (OC₁ é (OA₁), de (OB₂) e (OC₂) é (OA₂).

A média geométrica de (OA₁) e (OA₂) é (OA).

É fácil ver que vale a equação (OA) = ((OA₁)(OA₂))^1/2 = ((OB₁)(OC₁)(OB₂)(OC₂))^1/4.

Na figura 14 acima o segmento (B₁C₁) está dividido em 17 partes iguais, tomadas como unidades de medida. A intensão é desenhar a raiz quarta de 16.

A Figura indica que (OA₁) = ((OB₁)OC₁))^1/2 e OA₁) = (OA₂) = 4 unidades.

Agora temos (OA) = ((OB₁)(OA₂))^1/2, equação 2.

Porém (OA) = (OA₃)  e (OA₃) = 2 unidades.

À primeira vista parece que as conclusões referentes às Figuras 13 e 14 são diferentes, mas não são.

Na Figura 14 também operamos com 4 segmentos: (OB₁), (OC₁), (OB₁), (OA2).

O Termo (OB₁) foi usado como unidade de medida. Note que, geometricamente, não sabemos extrair a raiz quarta de um número real mas sabemos extrair a raiz quadrada. Por isso resolvemos o problema extraindo duas vezes a raiz quadrada. Está ao alcance de um adolescente do curso médio.

Seguindo a mesma receita podemos determinar a aresta de um hipercubo de m dimensões desde que qualquer fator de m seja igual a dois.

Então m = 2ⁿ com n inteiro e n > 1. O drama é extrair a raiz cúbica.

Capítulo III: Teorema do cubo, 1TC.

Primeira parte, 1TC1

A duplicação do cubo é um caso particular do teorema do cubo que consiste em multiplicar o volume unitário de um cubo de aresta unitária por um número real qualquer e determinar a aresta do produto.

No caso da duplicação multiplicamos por dois. Para esclarecer, vamos multiplicar o volume dado por 8, conforme a figura 1FC.

A vantagem desse procedimento é que a aresta fica multiplicada por dois, número inteiro, tornando simples a verificação usando compasso e régua graduada a exemplo da Figura 6 onde o retângulo OCC₁C₂ teve seus quadrados unitários rearranjados formando o quadrado maior A₁A₂B₁B.

Na Figura 1FC1, temos o cubo de aresta unitária. Em 1FC2, um paralelepípedo retângulo de base quadrada com lado unitário. A altura do paralelepípedo mede 8 unidades. É derivado do cubo da esquerda que teve uma de suas arestas multiplicada por 8. Em 1FC3, um cubo de aresta igual a duas unidades e, portanto, volume igual a 8 unidades cúbicas. Este é derivado do paralelepípedo que teve seus oito pequenos cubos unitários rearranjados. Do centro para a direita foi feita uma transformação a volume constante.

Parece termodinâmica. Uma sugestão para o teorema do cubo, média geométrica de três segmentos, é partir do caso geral: x^1/2 = y^1/3 e considerar que, geométricamente, sabemos lidar com o primeiro membro e não sabemos lidar com o segundo.  Demonstrar o teorema do cubo consiste em resolver aquela equação geometricamente, todavia daquela equação temos apenas o primeiro membro conhecido, que pode ser posto sob a forma: a = (vz)^1/2, onde a, v e z são as medidas dos respectivos (OA), (OV) e (OZ).

Capítulo IV: Teorema do cubo, 2TC.

Primeira parte, 2TC1.

Vamos imaginar uma circunferência de diâmetro (BC) e uma corda (VZ) passantes pelo ponto O, comum a ambas. A corda (VZ) gira em torno do ponto O.

As variáveis v e z assumem todos os valores possíveis.

Haverá um par de valores tais que v = z^1/2. Seja c = 1, onde c é a medida de (OC) e b = 8, onde b é a medida de (OB).

Pelo teorema 2TX e Figura 7 devemos ter   vz = 8, v = 2 e z = 4 = 2² , pois supomos que v = z^½. Substituindo vem: 2³ = 8 ou 2 = 8^1/3.

Para resolver o problema devemos encontrar a posição da corda, o ângulo BOZ, que produza o par v = 2 e z = 4.

Seguindo essa linha de raciocínio, vamos olhar a Figura 1FC4 desenhada conforme os valores acima.

Cancelamos a parte da corda (OV) porque vamos estudar apenas os valores z^½ e adotar a variável s = z^1/2

A figura 1FC5 acima mostra como fazê-lo obtendo o ponto S tal que s = z^1/2.  Observe que o ponto S pertence a uma nova curva que deve ser uma circunferência. Imagine o segmento (UZ) girando em torno do ponto O. (OU) = (OC) se mantem constante, (OZ) e (OS) variam. O ponto S descreve uma circunferência, mais tarde isso será provado. Para desenhá-la precisamos determinar mais dois pontos.

Antes de prosseguir, gostaria que o leitor desse uma olhada na Figura 14 que tem algo em comum com a figura 1FC5. Naquela, um dos fatores é constante, a média geométrica e o outro fator são variáveis. Em 1FC5 também, o fator (OU) é constante e tomado como unidade, por conveniência. Vejamos a figura 1FC6, o ponto A determina o segmento (OA), cuja medida “a” é a = b^1/2, onde b é o valor máximo de z. Portanto “a” é o valor máximo da raiz de z. Como o diâmetro (BC) é vertical e o ponto B está acima, o ponto A está na horizontal à esquerda.  Identicamente, quando o ponto Z passa pelo ponto C  z = 1, a medida de (OU₁) é 1 e o ponto U₁ está na horizontal e à  direita. Então os pontos S, A e U₁ pertencem à mesma curva que deve ser uma circunferência. Todavia a + 1 é a soma dos valores máximo e mínimo da medida da raiz de z, portanto é a medida do diâmetro (U₁A) da figura 1FC6 e 1FC7.

Em princípio não era necessário determinar o ponto S por que o diâmetro já é suficiente para determinar a circunferência. A utilidade do ponto S é para constatar que a circunferência passa por ele. Na figura 1FC6 a circunferência pontilhada, de centro O, que passa por S passa perto do ponto V. Nesse caso temos quase a solução. Do jeito que está colocada a Figura 1FC6, teremos que resolver por tentativa, o que não é válido. A Figura 1FC7 determina o ponto A₁ através de um arco pontilhado de 90 graus, centro em O, tal que (OA₁) = (OA).  

É possível observar na Figura 1FC6 que os segmentos (OS) e (OV) que devem ser comparados entre si, formam um ângulo de 90 graus. Ao invés de fazer comparações por uma infinidade de tentativas podemos fazer apenas uma.

Segunda parte, 2TC2.

Esta segunda parte consiste em transformar a figura conforme indicado pela 2FC1.

Para isso basta dar uma rotação de 90 graus à circunferência de diâmetro (U₁A) ou a C(U₁A) conforme a notação adotada, trocando o ponto A pelo ponto A₁ com o uso do arco pontilhado AA₁, centro em O, conforme sugere a Figura 1FC7.

No caso particular b = 8, usado como exemplo, temos x = 2 e z = 4, indicados pela circunferência pontilhada de raio igual a 2 e arco pontilhado de raio igual a 4, então 1x8 = 2x4, essa última relação provada em 2TX. Além disso devemos ter 2 = 4 ^½, conforme manda o teorema TC. Isso quer dizer que a equação X ^½ = Y ^1/3, está resolvida, geometricamente.

Note que aparecem duas soluções X e X₁ tais que (OX) = (OX₁) porque o sistema de equações que resolve é do segundo grau. Para encontrar uma proposta foi necessário trocar uma equação do terceiro grau, Y^1/3, por um sistema de equações do segundo.

Terceira parte, 2TC3

A terceira parte consiste em provar que a curva cujo diâmetro é (AU₁), figura 1FC7 é uma circunferência.

Figura 3FC1

Demonstração:

Na Figura 3FC1 acima temos a semicircunferência de centro em O e raio (OA). A distância angular entre qualquer ponto que a ela pertença e o diâmetro (AA₁) mede 90 graus; em outras palavras: o ângulo AA₂A₁ tem 90 graus. O ponto S pertence à semicircunferência USZ. O segmento (OS) perpendicular a (UZ) é dado por (OS) = ((OU)(OZ))^1/2. Na figura observamos que os triângulos OU₁U₂ e OA₁A₂ são semelhantes. Isso quer dizer que as retas que passam pelos pontos SU₁ e A₂A₁ são paralelas. Assim sendo, o Sr. Euclides garante que os ângulos AA₂A₁ e ASU₁ são iguais. Se o primeiro ângulo mede 90 graus, o segundo também. Então o ponto S enxerga o diâmetro (AU₁) por um ângulo de 90 graus, ou seja, ele está feliz por pertencer à C(AU₁).

Na Figura 2FC3 abaixo, que mostra a duplicação do cubo, o segmento (BC) está dividido em três partes iguais.

O segmento (OC) = (OU) é a aresta unitária do cubo dado. (OB) = 2u é a altura do paralelepípedo retângulo de volume igual a 2u³ .

A solução obtida, o cubo de volume igual a 2u³ , deverá ter aresta x medindo 2 ^1/3  u. Na figura, o ponto X está colocado à direita porque a esquerda está congestionada.

Infelizmente, a medida de (OX) é um número irracional e não é possível a colocação de compasso como antes. A Figura não tem beleza.

Figura 3FC2

A Internet informa a demonstração de um teorema do século 19 provando que a duplicação do cubo não tem solução com régua e compasso. Com o meu teorema do cubo, demonstrado com régua e compasso, cria-se um paradoxo. É possível explicar, admitindo por hipótese que aquele foi demonstrado num espaço a três dimensões. Assim sendo, ele estaria correto porque a três dimensões a solução não existe. O motivo seria banal: não sabemos escrever ou desenhar nesse espaço. Ali a régua e o compasso não têm serventia. Há outros motivos que podem ser invocados, por exemplo, a geometria proíbe o uso de régua graduada. A partir dos primeiros passos passamos a usar régua graduada, então, a partir daí, o problema deixou de ser geometria e se tornou física. Se o sr.  X₁₉ autor do teorema T19, tentou a solução usando geometria, ele não poderia mesmo resolver. Mas, se o problema não tem solução no espaço, ele tem solução no hiperespaço a quatro dimensões onde demonstrei. Não dei essa informação antes para não confundir a cabeça do leitor. O hiperespaço a quatro dimensões pode ser decomposto em dois planos que são projetados sobre o papel. Um dos planos é aquele que contem a circunferência de raio unitário, o outro contém a C(BC). Os dois se confundem sobre o papel, então trabalhamos num plano, usando figuras planas. Não consegui usar figura espacial, três dimensões, por exemplo, demonstrar o teorema usando o desenho de um caixotre. Para esclarecer, damos a seguir a Figura 3FC3 onde acrescentamos o segmento (PN), passante pelo ponto O, contendo as cordas (PQ) da C(U₁A₁) e a corda (MN) da C(BC).

Figura 3FC3

Assim, temos as equações: (OP) = ((OC)(ON))^1/2, identicamente (OQ) = ((OC)(OM))^1/2. Estas relações são válidas porque, por construção, qualquer ponto da C(U₁A₁) tem essa propriedade. Ela é média geométrica. Então, multiplicando ambos os membros vem:

(OP)(OQ) = ((OC)(OM)(OC)(ON))^1/2

Rearranjando vem:. (OP)(OQ) = ((OC)²(OM)(ON))^1/2.

Porém, (BC) e (MN) passam pelo ponto O e são cordas da mesma circunferência.

Então (OM)(ON) = (OC)(OB Substituindo e rearranjando, devemos ter: (OP)(OQ) = ((OC)³(OB))^1/2, (equação 3).

Esta equação mostra que a Figura 1FC2 não é um paralelepípedo retângulo de base quadrada com lado unitário e altura igual a 8 mas sim um hiperparalelepípedo retângulo de base cúbica com aresta (OC) unitária).

A altura do hiperparalelepípedo (OB) mede 8 unidades. O cubo da base parece um quadrado porque um dos lados é a quarta dimensão que não pode ser desenhada. A Figura 1FC3 é um hiperparalelepípedo de base cúbica e aresta medindo duas unidades. A altura desse elemento mede uma unidade. Essa é a quarta dimensão.

Para finalizar esta proposta, devo dizer que a maior parte do tempo e energia foram gastos a procura de uma figura volumétrica que pudesse resolver o problema. Dei a volta ao mundo e não encontrei. Sempre acreditando que tal figura existisse e sempre acreditando na minha incompetência em encontrar. Ultimamente encontrei uma matéria que me faz acreditar que tal figura não existe e que eu não sou tão incompetente quanto acreditava. A matéria se chama “O Espaço é Digital”. O autor é o Sr. Michael Moyer. Aposto que ele é francês ou dessa origem por causa do sobrenome Moyer. O ponto central desse texto é ocupado pela ciência da informação. Entre parênteses coloco alguns trechos: (... a informação, e não a matéria e a energia, é a unidade mais básica da sua existência. A informação cavalga em pequenos bits; desses bits surge o Cosmos). Além de enaltecer a informação o autor se esmera em explicar como e onde a informação é registrada e, esse “onde” é o espaço bidimensional, ou seja, não se trata de um volume mas, de uma superfície plana esférica etc. Um registro de informação se chama “princípio Holográfico” que é o registro na superfície esférica que envolve um buraco negro. Essa superfície é formada pelos pontos de não retorno.

O que está escrito é: (Essa teoria, o princípio holográfico, afirma que quando um objeto cai num buraco negro, o material em si pode ser perdido, mas a informação do objeto ficaria, de alguma forma, impressa na superfície em torno do buraco negro). Devo explicar, leitor, que tal exagero, decorre da crença dos cientistas na conservação da informação. Ela não pode ser destruída, mesmo quando um objeto cai num buraco negro. Pelo que me foi dado entender, o princípio holográfico é um caso particular daquilo que eles chamam tecido do espaço-tempo, que, por incrível que possa parecer, é uma superfície: (O princípio é mais do que um truque de contabilidade. Implica que enquanto o mundo que vemos parece ter lugar em três dimensões, todas as informações sobre ele são armazenadas em superfícies com apenas duas dimensões). Decorre de tudo o acima que, se a informação não pode ser destruída, ela é eterna. Se, por hipótese, aquilo que chamamos alma é informação, a hipótese é a pedra no caminho. Se ela for removida, você, leitor, ganha uma alma.

Antonio Carli

Engenheiro POLI USP

carlisp@terra.com.br